Le Disposizioni sono raggruppamenti ordinati di k oggetti (classe) scelti da una collezione di n oggetti.
Le Disposizioni possono essere semplici e con ripetizione.
Ordinati significa che è importante la sequenza:
AB e BA sono considerati diversi (l’ordine è importante) oppure uguali (l’ordine NON è importante).
Disposizioni semplici
I k oggetti scelti sono diversi, cioè non si ripetono.
Es.1 In un campionato di 20 squadre, quali saranno i possibili podi (3 squadre) alla fine della stagione?
1 squadra su 20 sarà prima, 1 squadra su 19 sarà seconda e squadra su 18 sarà terza.
Risolvo= 20 x 19 x 18 = 6.840 possibili podi, cioè possibili sequenze ordinate di k elementi (3 squadre) da un gruppo di partenza di n elementi (20 squadre).
Definizione di Disposizione semplice di n elementi di classe k:
ogni sottoinsieme ordinato di k elementi diversi fra loro, selezionati da un insieme di partenza di n elementi.
Quante sono le disposizioni (i diversi podi) vedi i vari passaggi.
Disposizioni di n elementi di classe k : D n,k = n! / (n-k)!
es.: D20,3 risolviamo utilizzando la formula
20! / (20-3)! = 20! / (17)! = 20 x 19 x 18 = 6.840
Es.2 In una gara podistica di 7 persone quanti possibili podi ? 1° Tizio, 2° Caio, 3° Tizio…..?
D 7,3 = 7! / (7-3)! = 7 x 6 x 5 = 210
Es.3 Quanti sono gli elementi di 2 Disposizioni sottese all’equazione : 3 Dx,4 = Dx,5
risolvo: Dx,4 = = n! / (n-k)! = x! / (x-4)! = x (x-1) (x-2) (x-3) (x-4)! /
/ (x-4)! = x (x-1) (x-2) (x-3)
così Dx,5 = x! / (x-5)! = x! / (x-5)! = x (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) (x-5)!/
/(x-5)! = x (x-1) (x-2) (x-3) (x-4)
riprendo 3 Dx,4 = Dx,5 e sostituisco
3 x (x-1) (x-2) (x-3) = x (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) semplifico
3 = (x-4)
x = 7
gli elementi sono 7.
Disposizioni con ripetizione
I k oggetti scelti possono essere uguali, cioè si ripetono.
D n,k = n^k
Es.4 Con 2 lettere A e B, quante parole di una sola lettera posso comporre ? Ovviamente 2, cioè A e B,
dove n sono le lettere che posso utilizzare e K è il numero di lettere che compongono la parola,
D n,k = n^k = 2^1 = 2
Es.5 Nella sintesi proteica, l’informazione genica per un aminoacido è contenuta in 3 nucleotidi vicini. Quante triplette di nucleotidi posso comporre con soli 4 nucleotidi di partenza ?
Il numero di nucleotidi che posso utilizzare sono 4 e l’informazione genica sta in 3 nucleotidi
D4,3 = 4^3 = 64 triplette, anche se ne servono una ventina per i rispettivi aminoacidi.
Es.6 Quante colonne del Totocalcio (3 possibili risultati 1 X 2) si dovrebbero giocare per fare 14 e 13?
Gli incontri di calcio si possono risolvere in 3 modi diversi, quindi la n = 3.
Il risultato della schedina è come una parola di 13 o 14 lettere, l’ordine dei risultati è decisivo, quindi è una disposizione, i risultati 1X2 possono ripetersi:
D3,13 = 3^13 = 1.594.323
D3,14 = 3^14 = 4.782.969
Con 14 partite il numero di partite è triplicato. La probabilità di azzeccare il risultato è molto diminuita.
Es.7 Abbiamo 7 lettere, possiamo usarle più volte, quante parole di 3 lettere (classe) possiamo scrivere ? Le parole hanno un ordine, quindi abbiamo insiemi ordinati, cioè Disposizioni.
Le variabili n sono 7, il contenuto di ogni gruppo k è di 3:
D 7,3 = 7^3 = 343