Le Combinazioni sono raggruppamenti non ordinati di un certo numero di elementi non distinguibili (k).
Non ordinati significa che AB è uguale a BA,….sono 1 unico raggruppamento.
Nelle Combinazioni non è importante l’ordine, questo le differenzia dalle Disposizioni.
Esistono le Combinazioni semplici e le Combinazioni con ripetizioni
Combinazioni semplici
Es.1 Combinazioni semplici: Date le 3 lettere ABC, quanti sono i raggruppamenti non ordinati di 2 lettere? AB, AC, BC, sono 3 i raggruppamenti. AA, BB, CC non sono Combinazioni semplici, perché le lettere si ripetono.
Nelle Combinazioni semplici gli elementi uguali non si ripetono.
La formula generale delle Combinazioni semplici: C nK = n! / k! (n-k)!
Questa formula può essere semplificata con il seguente coefficiente binomiale: tra parentesi tonda sopra scrivo n, e sotto scrivo k: (n (su) e k (giù)).
Es.1: Con la formula: C nK = n! / k! (n-k)! : C 3.2 = 3×2! / 2! (3-2)! = 3 Combinazioni semplici.
Es.2: Quante combinazioni di 3 lettere (k) posso ottenere partendo da 7 lettere A, B, C, D, E, F e G ?
C nK = 7! / 3! (7-3)! = 7! / 3! (4)! = 5.040 / 6 x 24 = 5.040 /144 = 35 Combinazioni semplici
Semplificando 7! / 3! (4)! = 7x6x5x4! / 6 (4)! = 7x6x5 / 6 = 7×5 = 35
Es.3: Abbiamo 35 palline indistinguibili: 5 nere + 10 blu + 20 rosse, vogliamo dei raggruppamenti non ordinati (Combinazioni) di 3 palline, ma 2 devono essere dello stesso colore ?
Pallina RGR va bene come RRG perché la Combinazione è un raggruppamento non ordinato.
Risolvo: Quante sono le possibili Combinazioni di 2 con 5 nere da associare a ciascuna delle altre 30 ?
Le nere sono: N1, N2, N3, N4, N5.
Ora raggruppo 2 sole palline senza tener conto dell’ ordine: N1-N3, N5-N2,…quindi sono Combinazioni semplici.
La formula generale delle Combinazioni semplici: C nK = n! / k! (n-k)!
= (10+20) C 5.2
= 30 x 5! / 2! x (5-2)!
= 30 x 5x4x3! / 2! x 3!
= 30 x 5 x 4 / 2 = 300
Facciamo questo lavoro anche con le blu e le rosse =
= 300 + 1125 + 2850 = 4275 Combinazioni
Combinazioni con ripetizioni
Es.4: Dati 4 caramelle alla frutta al gusto di Arancia, Banana, Caco, Mela, distribuisco ad ogni bambino un sacchetto di 6 caramelle diverse o uguali. Quante Combinazioni sono possibili ? Osservo che in questo caso il raggruppamento o classe k è maggiore di n.
La formula generale delle Combinazioni: C-rip n(rip),K
dove n(rip) = (n+k-1), mentre la classe non varia.
Torniamo all’Es.4: n(rip) = (n+k-1) = 4+6-1 = 9, mentre k = 6
Combinazioni con ripetizioni: C-rip 9,6 = 9! / 6! (9-6)! = 9! / 6! (3)! = 9 x 8 x 7 x 6! / 6! (3)! = 9 x 8 x 7 / 3 x 2 = 84
La formula generale delle Combinazioni con ripetizioni:
C-rip = n! / k! (n-k)! diventa = (n+k-1, k) = (n+k-1)! / [k!(n-1)!] =
Es.5 Quanti modi di distribuire 7 studenti (n) in 3 aule diverse (k), o in 2 o in 1 sola e le altre restare vuote. Quanti possibili Combinazioni si possono fare ? E’ come dire 7 caramelle a 3 bambini.
C-rip: nK = (n+k-1)! / [k!(n-1)!] = 9! / 3! (7-1)! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5! / 3! 5! = 9 x 8 x 7 x 6 / 6 = 504