Ci sono 3 tipi di Permutazioni: con oggetti diversi, con oggetti uguali, con oggetti diversi disposti circolarmente.
Permutazioni semplici
Sono Permutazioni semplici o senza ripetizioni, con oggetti diversi, in cui il numero di modi di presentarsi è pari al fattoriale di n! Questo numero corrisponde al prodotto degli n oggetti scendendo fino a 1.
Es. 1Ps: Date le 2 lettere AB = 2 x 1 = 2 possibilità: AB e BA
Es. 2Ps: Date le 3 lettere ABC sono 3 diversi oggetti = 3 x 2 x 1 = 6 possibilità: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Es. 3Ps Date le 4 lettere ABCD = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 possibilità
| D1 | D2 | D3 | D4 | |
| ABC | DABC | ADBC | ABDC | ABCD |
| ACB | DACB | ADCB | ACDB | ACBD |
| BAC | DBAC | BDAC | BADC | BACD |
| BCA | DBCA | BDCA | BCDA | BCAD |
| CAB | DCAB | CDAB | CADB | CABD |
| CBA | DCBA | CDBA | CBDA | CBAD |
Es. 4Ps: Date le 7 lettere ABCDEFG = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5.040 possibilità
Si dice fattoriale di n elementi, si scrive n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x …. x 2 x 1.
Permutazioni con ripetizioni
Sono Permutazioni contenenti oggetti uguali, se ci sono 20 oggetti uguali valgono per 1, quindi il numero totale di permutazioni è inferiore.
P = n! / (A)n1! x(B) n2! x (C)n1!
Es. 2Pr: Date le 3 lettere AAC sono 2 diversi oggetti (di meno rispetto all’Es. 1a) = AAC, ACA, CAA
P = 3! / (A)n2! x (C)n1! = 6 / 2 x 1 = 3
Es. 3Pr: Date le 4 lettere ABCA (prendo la tabella sopra dell’Es. 3 e sostituisco la D con un’altra A)
| A1 | A2 | A3 | A4 | |
| ABC | AABC | AABC | ABAC | ABCA |
| ACB | AACB | AACB | ACAB | ACBA |
| BAC | ABAC | BAAC | BAAC | BACA |
| BCA | ABCA | BACA | BCAA | BCAA |
| CAB | ACAB | CAAB | CAAB | CABA |
| CBA | ACBA | CABA | CBAA | CBAA |
Ci sono 24 risultati, ma la metà sono dei doppioni, perché la A è doppia, quindi si dovrà dividere x 2.
P = 4! / (A)n2! x(B) n1! x (C)n1! = 24 / 2 = 12
= AABC, AACB, CBAA, BCAA, BAAC, CAAB, ABAC, ACAB, ABCA, ACBA, BACA, CABA.
Es. 4Pr: Date 7 lettere che si ripetono: 4 A, 2 B e 1 C. potremo avere AAAABBC, oppure ABBAAAC,…Il numero di modi di presentarsi è pari al fattoriale di n! fratto il prodotto dei fattoriali singoli: (n)7! / (A)4! x(B) 2! x (C)1! = 5.040 / (24 x 2 x 1) = 105.
Permutazioni circolari
Sono Permutazioni senza ripetizioni disposte in modo che non si abbia un inizio e una fine, come un gruppo di persone sedute attorno a un tavolo circolare. Questo numero corrisponde fattoriale di n! – 1.
Es.5 Date 7 persone ABCDEFG – 1 = 7-1 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 possibilità.
Riassunto gruppi con 7 oggetti:
Permutazioni senza ripetizioni: 5.040,
Permutazioni circolari: 720,
Permutazioni con ripetizioni: 105.
Nelle Permutazioni l’ordine degli elementi è importante.
Raggruppamenti
Da una Permutazione di n elementi (n!) si possono raccogliere, semplicemente o con ripetizione, solo alcuni elementi k:
se sono gruppi ordinati li chiamiamo Disposizioni,
se sono gruppi non ordinati li chiamiamo Combinazioni.
Facciamo un esempio di quanti raggruppamenti si formano con n=7 e k=3
| semplici | con ripetizioni | circolari | |
| Permutazioni | n! | n! / (n-..)! x …()! | n! – 1 |
| Es. 3, 4, 5: | 5.040 | 105 | 720 |
| Disposizioni | n! / (n-k)! | = n^k | |
| Es. 3, 5: | 210 | 343 | |
| Combinazioni | n! / k! (n-k)! | n + k -1 | |
| Es. 2, 5: | 35 | 36 | |
Esercizi sulle Permutazioni