1-1 La parata del Re
Il Re fra 12 cavalieri ne deve scegliere 4 per una parata. Uno di questi non può stare al primo posto (cavaliere problematico). In quanti modi il re può scegliere i cavalieri ?
Al 1° posto il re può scegliere solo 11, perché sappiamo che uno non può stare al primo posto. Il cavaliere problematico può stare al 2°, 3° o 4° posto o addirittura non starci neppure nella parata.
Al 1° posto si sceglie fra 11, mentre al 2° posto sceglie il cavaliere fra 11 (ritorna in gioco il cavaliere problematico), al 3° posto sceglie il cavaliere fra 10, e al 4° posto sceglie il cavaliere fra 9.
Quindi 11 x 11 x 10 x 9 = 10.890.
Oppure risolviamo con le formule:
al primo posto il cavaliere problematico non può stare, quindi l’ordine è importante. Sappiamo che nelle C l’ordine non è importante, quindi tra P D C restano solo P e D. Il re sceglie un gruppetto fra un insieme più grande, quindi è una Disposizione di 11 elementi non di 12:
D11,3. Una disposizione senza ripetizione: D n,k = n! / (n-k)! .
D n,k = n! / (n-k)! = 11! / (11-3)! = 11! / 8! = 11 x 10 x 9 = 990
Ora mettiamo assieme i possibili 11 cavalieri che vanno al 1° posto con le 990 possibilità per ognuno degli 11 possibili = 11 x 990 = 10.890
Riflessione: tra gli 11 rimasti dovrebbe sceglierne 3 ma senza ordine, quindi di primo acchito avrei pensato a una combinazione senza ripetizione:
C nK = n! / k! (n-k)! = 11! / 3! x (11-3)! = 11! / 3! x 8! = 11 x 10 x 9 / 6 = 165
Infine: 11 x 165 = 1.815
Sbagliando.
Quindi è una Disposizione = D n,k = n! / (n-k)! = 11! / 8! = 990
E finalmente: 11 x 990 = 10.890
1-2 Le giacche nell’armadio
Nell’armadio ci sono 8 giacche, 2 sono rosse ma non sono vicine, in quanti modi possono essere state appese?
Se le rosse non sono vicine l’ordine conta, quindi non sono C, se le prende tutte non sono D, resta solo la P, ma ce ne sono 2 uguali, quindi è una Permutazione con ripetizione= n! / ripetizioni! = 8! / 2! = 8x7x6x5x4x3= 20.160.
Ma il problema non mi chiede quante si ripetono, ma che si ripetano separate. La ripetizione separata è data dalle ripetizioni totali meno le ripetizioni vicine, cioè considero le 2 giacche rosse vicine come un’unica entità, per cui non più 8 ma 7 entità, quindi una permutazione semplice di 7! = 5.040.
Finalmente = 20.160 – 5.040 = 15.120.
1-3 Le caramelle della nonna
min 11.45: La nonna ha 10 nipoti e 30 caramelle, vuole che ogni nipote riceva almeno una caramella. In quanti modi può farlo ?
L’ordine non c’entra, la consegna non è detto sia equa, perché può addirittura darne 21 a uno solo e le altre 10 distribuirle fra i 9 rimasti.
Quindi né P, né D, ma sono Combinazioni.
Ora ne do una a ogni nipote, mi restano 10 caramelle che consegno nei diversi modi:
A) “n” può essere le 20 caramelle e “k” può essere i 10 nipoti
B) “n” può essere i 10 nipoti e “k” può essere le 20 caramelle
“k” non deve essere vuota, invece “n” può essere
Quindi è corretta la Combinazione B, con ripetizione dei nipoti
C-rip = (n+k-1)! / [k!(n-1)!] = 29! / [20!(10-1)!] = 29! / 20! x 9! = 29 x 28 x 27 x 26 x 25 x 24 x 23 x 22 x 21 / 9! = 10 milioni circa.
1-4 Briscola
min 16.38: Un mazzo di briscola con 40 carte, 4 semi, 7 numeri e 3 figure, estrai 5 carte in cui ci sono 4 figure e 1 asso. Quante possibili combinazioni hai in mano.
Non l’ordine non conta , quindi sono Combinazioni senza ripetizioni, perché non possono pescare la stessa carta 2 volte.
Divido il problema in 2:
Calcolo le combinazioni senza ripetizione pescando fra le 12 figure del mazzo “n”, le 4 figure che ho pescato “k”
C12,4 = n! / k! (n – k)! = 12! / 4! (12 – 4)!
Calcolo le combinazioni senza ripetizione pescando fra i 4 assi del mazzo “n”, l’asso che ho pescato “k”
C4,1 = n! / k! (n – k)! = 4! / 1! (4 – 1)!
Le figure e l’asso sono indipendenti per cui devo fare il prodotto dei 2 risultati:
C = [12! / 4! (12 – 4)!] x 4! / 1! (4 – 1)! = 12! / (12 – 4)! x / (4 – 1)! = 12! / 8! x 3! = 12 x 11 x 10 x 9 / 3 x 2 = 1.980 modi.
1-5
min 19,30